314. feladvány: A leesett falióra

Egy pontosan járó falióra leesett a földre, és eltörtek a mutatói. Az óra számlapjáról a számok és a rovátkák is lekoptak már, két szomszédos rovátka kivételével. A két rovátka viszont hiánytalan: az egyik rövid, a másik hosszú. Az órát visszatesszük a falra, de nem tudjuk, hogy a kerület mely részén volt felakasztva, azaz nem tudjuk, hogyan kellene beforgatni. Az ábra alapján meg lehet állapítani, hogy mennyi az idő? Nem tudjuk, melyik a kismutató és melyik a nagymutató, de a két mutató által bezárt szöget hajszálpontosan harmadolják a rovátkák.

12 óra, azaz fél nap alatt hányszor esnek egybe a mutatók? És hányszor fordul elő, hogy pont 18 fokos szöget zárnak be egymással? Mik ezek az időpontok? Melyik lehet ezek közül az ábrán látható?

A nagymutató és a kismutató is egyenletes szögsebességgel jár körbe, a nagymutató óránként 360 fokot tesz meg, a kismutató 30-at. A nagymutató siet tehát a kismutatóhoz képest, és a két mutató közötti szög óránként 330 fokkal, azaz percenként 5 és fél fokkal nő.

A két mutató közötti szög 12:00-kor nulla, majd folyamatosan nő, és 360/330 = 12/11 óránként (ami 65 perc 27 3/11 másodperc) növekszik 360 fokra, azaz ér körbe, vagyis 12 óra alatt 11-szer esnek egybe a mutatók.

A mutatók 11 egybeesésének ideje, ami 65 perc 27 3/11 másodpercenként következik be: 1:05:27 3/11, 2:10:54 6/11, 3:16:21 9/11, 4:21:49 1/11, 5:27:16 4/11, 6:32:43 7/11, 7:38:10 10/11, 8:43:38 2/11, 9:49:05 5/11, 10:54:32 8/11.

Mármost a hatvan részre felosztott óraszámlapon két szomszédos rovátka közötti távolság 6 foknak felel meg, ha tehát a mutatók közötti szöget harmadolják a rovátkák, akkor a mutatók 18 fokos szöget zárnak be egymással, ahogy az az ábrán is feltüntetésre került, és a mutatók szintén rovátkákra mutatnának, ha nem koptak volna le.

Nézzük, mikor zárnak be pontosan 18 fokos szöget egymással a mutatók. Ez minden együttállás előtt és után is előfordul egyszer: amikor a nagymutató 18 fokkal előrébb jár, illetve akkor, amikor 18 fokkal hátrébb, mint a kismutató. Ez összesen 22 időpont 12 óra alatt.

Mivel a két mutató közötti szög 5,5 fok/perc sebességgel nő, a 18 fokhoz 18/5,5 = 36/11 perc = 3 perc 16 4/11 másodperc kell. Vagyis a mutatók egybeesésének fentebb felsorolt 11 időpontja körül szimmetrikusan, 3 perc 16 4/11 másodperccel előtte és utána van egy-egy olyan állás, amikor a mutatók közötti szögkülönbség éppen 18 fok.

A lehetséges 22 időpont közül azonban csak kettő olyan, aminél nincsen tört perc, márpedig tudjuk, hogy a percmutató, akármelyik is az, egész osztáson áll, csak lekopott az osztás. A két lehetséges időpont 5:24 és 6:36, ezek közül azonban a rovátkák hossza alapján megállapítható, hogy 5:24 lesz a megoldás, mert 6:36-nál a két rovátkának fordítva kellene lennie. Érdemes felrajzolni egy papírra, és az órát nagyjából fejjel lefelé fordítani!

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is. Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre. Ha pedig tetszik a rovat, akkor ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.