A budapesti születésű Bödör László a Rákosi Vasutasban kezdte pályafutását, majd a Bp. Előréhez került. Később szerepelt Dorogon, aztán Esztergomban, 1956-ban pedig az akkor Bp. Vörös Lobogó néven szereplő MTK játékosa lett.

A fővárosiaknál 1965-ig szerepelt, tagja volt az 1957–1958-as bajnokcsapatnak, de van három bajnoki ezüst- és egy bronzérme.

A nemzetközi porondon is sikeres volt az MTK-val, a kék-fehérekkel 1964-ben KEK-döntőt játszott, az UEFA-kupa elődjének számító Vásárvárosok Kupájában elődöntős volt, 1959-ben pedig Közép-európai Kupát nyert.

A magyar válogatottban egyszer szerepelt, 1961-ben Egyiptom ellen kapott lehetőséget Baróti Lajostól. Tagja volt a chilei vb-re készülő keretnek, de pályára nem lépett.

A csatárként szereplő Bödör 1967-ben hagyta abba a labdarúgást Debrecenben, majd tanult szakmájában, esztergályosként helyezkedett el, saját műhelyében dolgozott.